Posted on 18-11-2015
Filed Under (文化) by waterlin

最近看完了这本《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》,书翻译得很好,赞一下译者。

在我看来,这本书除了描述清楚了费马大定理的历史渊源以及相关证明求解的思维过程,最重要的是,教会了我们一直以来在数学教育中最缺乏的数学理念教育。本书对于大部分人来说,最有价值的地方在于简明扼要地论述了数学和一般科学(主要是指物理)的区别,直接引用书本里“绝对的证明”一节里的话:

费马大定理的故事以寻找遗失的证明为中心。数学证明比我们在日常用语中非正式使用的证明概念,甚至比物理学家或化学家所理解的证明概念都远为有力和严格。科学证明和数学证明之间的差别既是极细微的,又是很深奥的。这种差别是理解自毕达哥拉斯以来每个数学家的工作的关键点。

经典的数学证明的办法是从一系列公理、陈述出发,这些陈述有些可以是假定为真的,有些则是显然真的;然后通过逻辑论证,一步接一步,最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的,逻辑也无缺陷,那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。

数学证明依靠这个逻辑过程,而且一经证明就永远是对的。数学证明是绝对的。为了正确地判断这种证明的价值,应该将它们与比其差一些的同类证明,即科学证明做一比较。在科学中,一个假设被提出来用以解释某一物理现象。如果对物理现象的观察结果与这个假设相符,这就成为这个假设成立的证据。进一步,这个假设应该不仅能描述已知的现象,而且能预言其他现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力,如果它再次继续成功,那么就有更多的证据支持这个假设。最终,证据的数量可能达到压倒性的程度,于是这个假设被接受为一个科学理论。

科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度:它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。所谓的科学证明依赖于观察和理解力,这两者是容易出错的,并且仅仅提供了近似于真理的概念。正如伯特兰·罗素(Bertrand Rus-sell)指出的:“虽然这有点像是悖论,然而所有的精确科学都被近似性这个观念支配着。”甚至被人们最为普遍地接受的科学“证明”中也总有着一点儿可疑成分。有时候,这种怀疑会减少,尽管它永远不会完全消失;而在另一些场合,这种证明最终会被证实是错的。科学证明中的这个弱点导致用一种新的理论替代原来曾被认为是正确的理论的科学革命,这种新理论可能只是原有理论的进一步深化,也可能与原有理论完全相反。

接下来的一段结论:

科幻小说作家和未来学家阿瑟·C. 克拉克(Arthur C. Clarke)曾这样写道:如果一个有名望的教授说某事毫无疑问是正确的,那么有可能下一天它就被证明是错误的。科学证明有不可避免变化的不定和假冒。另一方面,数学证明是绝对的,无可怀疑的。毕达哥拉斯至死仍坚信他的这个在公元前500年是对的定理将永远是对的。

科学是按照评判系统来运转的。如果有足够多的证据证明一个理论“摆脱了一切合理的怀疑”,那么这个理论就被认为是对的。在另一方面,数学不依赖于来自容易出错的实验的证据,它立足于不会出错的逻辑。

本书最后“第八章 大统一数学”的“计算机证明”一节里,还有一段特别值得大家深思的话,在计算机使用越来越广泛的今天,下面这一段,永远值得刻在所有的码农脑子里:

这个奖到底是不是会被认领还是件有争议的事,但可以肯定的是计算机证明总不如传统证明那样发人深省,相比之下它显得空虚。数学证明不仅回答了问题,它还使人们对为什么答案应该如此有所理解。把问题送进一个黑匣子然后从另一端收到一个答案,这增加了知识但没有增进理解力。

看,只增加了知识,但是没有增进理解力!

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